Durée totale : Une année scolaire

Introduction générale au cours : Équations différentielles pour débutants

Ce cours est conçu pour initier les étudiants aux concepts fondamentaux des équations différentielles, qui jouent un rôle clé dans la modélisation des phénomènes physiques, économiques et biologiques. Il explore les méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires (EDO) et introduit des applications pratiques en physique, en ingénierie et en économie.

À travers une approche progressive, ce cours met l’accent sur les techniques analytiques et graphiques pour résoudre et interpréter des équations différentielles simples. Les étudiants apprendront à modéliser des systèmes dynamiques, à comprendre leur comportement et à appliquer ces concepts à des problèmes concrets.

Objectifs du cours

Objectifs généraux

• Comprendre les principes fondamentaux des équations différentielles.
• Développer des compétences analytiques pour résoudre des équations différentielles simples.
• Appliquer ces concepts à divers domaines tels que la physique, l’économie et l’ingénierie.

Objectifs spécifiques

• Définir et classifier les équations différentielles ordinaires.
• Résoudre des équations différentielles du premier ordre par différentes méthodes.
• Étudier les équations différentielles du second ordre et leurs applications.
• Utiliser les méthodes analytiques et graphiques pour analyser le comportement des solutions.
• Appliquer les équations différentielles à des problèmes réels (mouvements, circuits électriques, croissance démographique, dynamique des populations).

Compétences développées

• – Connaissances et compréhension : Acquisition des notions fondamentales et de leur signification dans divers contextes.
• – Communication : Expression des solutions sous forme mathématique, graphique et verbale.
• – Habileté de la pensée : Développement du raisonnement logique et de la modélisation mathématique.
• – Mise en application et résolution de problèmes : Capacité à formuler, résoudre et interpréter des équations différentielles dans des situations concrètes.
• – Modélisation et analyse de systèmes dynamiques : Application des équations différentielles aux sciences appliquées.

Public cible

Ce cours s’adresse aux étudiants débutants en mathématiques, ingénierie, physique et économie qui souhaitent acquérir une base solide en équations différentielles avant d’aborder des niveaux plus avancés. L’approche pédagogique repose sur une combinaison d’explications théoriques, d’exemples concrets et d’exercices pratiques, facilitant ainsi la compréhension et l’application des concepts.

Modules et leçons du cours

Module 1 : Introduction aux équations différentielles

• Leçon 1 : Définition et classification des équations différentielles
• Leçon 2 : Modélisation de phénomènes avec des EDO
• Leçon 3 : Solutions générales et particulières

Module 2 : Équations différentielles du premier ordre

• Leçon 4 : Équations séparables et applications
• Leçon 5 : Équations linéaires du premier ordre et méthode du facteur intégrant
• Leçon 6 : Équations exactes et méthodes de résolution

Module 3 : Applications des équations différentielles du premier ordre

• Leçon 7 : Modélisation de la croissance et décroissance exponentielle
• Leçon 8 : Dynamique des populations et loi de Verhulst
• Leçon 9 : Applications en physique et en chimie (refroidissement de Newton, circuits électriques)

Module 4 : Équations différentielles du second ordre

• Leçon 10 : Équations homogènes à coefficients constants
• Leçon 11 : Équations non homogènes et méthode des coefficients indéterminés
• Leçon 12 : Applications aux oscillateurs mécaniques et circuits électriques

Module 5 : Résolution graphique et numérique des EDO

• Leçon 13 : Représentation graphique des solutions et portrait de phase
• Leçon 14 : Introduction aux méthodes numériques (Euler et Runge-Kutta)

Module 6 : Applications avancées et préparation aux études supérieures

• Leçon 15 : Modélisation économique et dynamique des systèmes financiers
• Leçon 16 : Introduction aux équations différentielles partielles (EDP)

Évaluation et travaux pratiques

• – Exercices interactifs : Problèmes progressifs pour renforcer la compréhension.
• – Études de cas : Applications aux phénomènes réels (physique, ingénierie, économie).
• – Projet final : Modélisation et résolution d’un problème concret à l’aide d’équations différentielles.

Résumé du cours

Ce cours offre aux étudiants une introduction progressive aux équations différentielles, leur permettant de comprendre et d’appliquer ces outils dans des contextes réels et scientifiques. Il constitue une base essentielle pour les études avancées en mathématiques appliquées, ingénierie, physique et économie.