Nombre de crédits : 3 crédits
Durée totale : 45 heures (15 semaines, 3 heures par semaine)

Introduction générale au cours : Algèbre linéaire I

L’algèbre linéaire est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires. Ce cours constitue une introduction aux concepts et outils fondamentaux utilisés en mathématiques, physique, ingénierie, économie et informatique.

L’objectif principal est de fournir aux étudiants une compréhension approfondie des notions de vecteurs, de matrices, de systèmes d’équations linéaires et de transformations linéaires, en mettant l’accent sur leur résolution et leurs applications pratiques.

Objectifs du cours

Objectifs généraux

• – Acquérir une compréhension des concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire.
• – Développer la capacité à résoudre des problèmes mathématiques concrets à l’aide des outils algébriques.
• – Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire dans divers domaines scientifiques et techniques.

Objectifs spécifiques

• – Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide des matrices et du pivot de Gauss.
• – Comprendre les notions de vecteurs, bases et dimension dans un espace vectoriel.
• – Étudier les opérations sur les matrices : addition, multiplication, inverse et déterminant.
• – Analyser les transformations linéaires et leurs représentations matricielles.
• – Calculer les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice.
• Appliquer l’algèbre linéaire à la géométrie analytique et aux sciences appliquées.

Compétences développées

• – Connaissances et compréhension : Maîtrise des concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire.
• – Communication : Capacité à expliquer des raisonnements mathématiques rigoureux.
• – Habileté de la pensée : Résolution analytique de problèmes en lien avec les espaces vectoriels et les matrices.
• – Mise en application et résolution de problèmes : Utilisation de l’algèbre linéaire dans les domaines scientifiques et techniques.

Public cible

Ce cours s’adresse aux étudiants en mathématiques, physique, ingénierie, économie et informatique, ainsi qu’à toute personne souhaitant acquérir une base solide en algèbre linéaire.

L’apprentissage repose sur des démonstrations rigoureuses, des exercices pratiques et des applications réelles, favorisant une compréhension approfondie des concepts étudiés.

Modules et leçons du cours

Module 1 : Systèmes d’équations linéaires et matrices

• Leçon 1 : Introduction aux systèmes d’équations linéaires
• Leçon 2 : Méthodes de résolution : méthode du pivot de Gauss et de Gauss-Jordan
• Leçon 3 : Opérations sur les matrices et applications aux systèmes linéaires

Module 2 : Espaces vectoriels

• Leçon 4 : Définition et propriétés des espaces vectoriels
• Leçon 5 : Bases, dimension et sous-espaces vectoriels
• Leçon 6 : Produit scalaire et orthogonalité

Module 3 : Déterminants et inverses de matrices

• Leçon 7 : Définition et propriétés du déterminant
• Leçon 8 : Calcul du déterminant et critères d’inversibilité d’une matrice
• Leçon 9 : Applications des matrices inverses aux systèmes d’équations

Module 4 : Transformations linéaires et applications

• Leçon 10 : Définition et propriétés des transformations linéaires
• Leçon 11 : Matrice associée à une transformation linéaire
• Leçon  12: Applications en physique et en ingénierie

Module 5 : Valeurs propres et vecteurs propres

• Leçon 13 : Définition et interprétation des valeurs propres et vecteurs propres
• Leçon 14 : Diagonalisation des matrices et applications
• Leçon 15 : Applications des valeurs propres en physique et en économie

Module 6 : Applications de l’algèbre linéaire

• Leçon 16 : Géométrie analytique en dimension 2 et 3
• Leçon 17 : Algèbre linéaire en intelligence artificielle et en traitement d’images
• Leçon 18 : Optimisation et programmation linéaire

Évaluation et travaux pratiques

• – Exercices dirigés : Résolution de problèmes concrets liés aux espaces vectoriels et aux matrices.
• – Études de cas : Applications de l’algèbre linéaire dans les sciences et l’ingénierie.
• – Projet final : Application d’un concept d’algèbre linéaire à un domaine réel (modélisation, programmation, simulation).

Conclusion

Ce cours permet aux étudiants de maîtriser les bases de l’algèbre linéaire, en développant des compétences analytiques et en découvrant ses applications pratiques dans divers domaines scientifiques et technologiques. Grâce à une approche interactive et appliquée, ils seront capables de résoudre des problèmes concrets, de manipuler des matrices et des espaces vectoriels, et d’utiliser ces concepts dans des contextes réels.